Sari la conținut

Asta înseamnă că dacă avem un algoritm aproximativ absolut pentru problema acoperirii, putem imediat construi un algoritm exact la fel de rapid. Din păcate transformarea într-un algoritm determinist se face pierzînd din eficienţă. Acest tip de algoritmi este surprinzător de bogat în consecinţe cu valoare teoretică. Oricum, din moment ce nici o instrucţiune nu se mai execută atît de mult, dacă înmulţim lungimea programului cu numărul de repetiţii al instrucţiunii dominante avem imediat o margine superioară pentru timpul de execuţie. Algoritmul dat în era în cel mai rău caz de 1,5 ori mai lung decât soluția optimă. Partea cea mai interesantă este următoarea: ştim cu certitudine că P EXP.

Tot ce e la stînga lui l e mai mic decît x, tot ce este cuprins între l inclusiv şi m exclusiv este egal cu x, iar tot ce se află la dreapta lui r este mai mare ca x. Elementele dintre m şi r sunt încă ne-explorate.

Această relaţie este adevărată atunci cînd algoritmul începe, din modul în care se iniţializează variabilele, şi rămîne adevărată la fiecare parcurgere a buclei do, după cum se poate verifica.

Account Options

Limbajul acesta nu este foarte eficace pentru a scrie sisteme de operare, dar pentru a exprima algoritmi este foarte succint şi elegant. Ca să demonstrăm ca algoritmul se termină întotdeauna, independent de valorile lui x, n şi a, observaţi că ori toate gărzile sunt false şi atunci gataori cel puţin o gardă este adevărată, şi atunci fie m creşte, fie r scade.

Interesant este că rezultatul final nu depinde de care operaţie este făcută, pentru că ambele operaţii păstrează invariantul indicat şi reprezintă un progres. De asemenea, observaţi că algoritmul rămîne corect dacă eliminăm ultima linie din do, şi în acest caz devine şi determinist! Instanţe şi probleme O distincţie foarte importantă pe care trebuie s-o facem este între clasa de probleme pe care o rezolvă un algoritm, şi instanţele specifice ale acelei probleme.

Tot ce e la stînga lui l e mai mic decît x, tot ce este cuprins între l inclusiv şi m exclusiv este egal cu x, iar tot ce se află la dreapta lui r este mai mare ca x. Elementele dintre m şi r sunt încă ne-explorate.

De exemplu, algoritmul descris mai sus rezolva toate problemele care conţin un vector de n elemente şi o valoare x, aducînd vectorul la forma indicată. Distincţia este esenţială, mai ales cînd vrem să evaluăm eficacitatea unui algoritm. Măsurarea performanţei unui algoritm cu ceasul în mînă nu este o operaţie foarte semnificativă, dacă algoritmul va rezolva şi alte instanţe ale problemei decît cea măsurată.

Dacă algoritmul de mai sus, implementat pe un anumit calculator, rezolvă instanţa indicată în 5 milisecunde, asta nu spune absolut nimic despre viteza lui pentru o cu totul altă instanţă.

Dacă vrem să evaluăm calitatea algoritmilor trebuie să găsim o metodă care nu depinde de instanţe, ci de problema însăşi. Complexitate asimptotică O întrebare pe care ne-o putem imediat pune este: cît de bun este un algoritm? Nu se poate scrie un altul mai bun care să rezolve aceeaşi problemă, fireşte?

Pentru a putea răspunde, trebuie să cădem de acord asupra unei metode prin care măsurăm calităţile unui algoritm; putem măsura timpul lui de execuţie pentru o anumită problemă, sau cantitatea de memorie folosită, sau numărul de instrucţiuni care descriu programul, sau poate o altă dimensiune. Dacă am doi algoritmi pentru aceeaşi problemă, atunci poate pentru anumite instanţe ale problemei unul este mai rapid, iar pentru alte instanţe celălalt.

AMAZING DIY SCHOOL HACKS -- Easy Hacks and Crafts For Back To School! by 123

Dintre algoritmii de sortare sortarea prin selecţie este preferată pentru vectori mici, iar quicksort sau heapsort pentru vectori mari. Dacă valorile din vector sunt mici, atunci le bate pe amîndouă radixsort. Şi probleme de dating de tip scurt, cum comparăm doi algoritmi?

Problema comis-voiajorului - Wikipedia

Există un răspuns relativ unanim acceptat la această întrebare, dar, înainte de a-l prezenta, trebuie încă odată să spunem că acesta este doar un punct de vedere în comparaţie, şi că în practică se pot prefera algoritmii şi din alte motive. Cel mai interesant atribut al performanţei a fost judecat a fi timpul de execuţie al unui algoritm. Timpul este apoi asimilat cu numărul de operaţii elementare pe care le efectuează un algoritm pentru a rezolva o problemă. Din păcate, chiar pentru o instanţă fixată a unei probleme, numărarea instrucţiunilor executate este o sarcină foarte dificilă.

Din această cauză se socoteşte suficient a se măsura de cîte ori se repetă instrucţiunea care se execută cel mai mult. Aceasta este instrucţiunea dominantă, şi se găseşte de regulă în interiorul tuturor buclelor.

Meniu de navigare

Numărul de repetiţii al instrucţiunii dominante este o aproximaţie rezonabilă pentru numărul total de instrucţiuni executat de algoritm. Oricum, din moment ce nici o instrucţiune nu se mai execută atît de mult, dacă înmulţim lungimea programului cu numărul de repetiţii al instrucţiunii dominante avem imediat o margine superioară pentru timpul de execuţie. Vom vedea mai jos că folosirea pentru a indica complexitatea a ordinului de mărime a unei funcţii face neimportant un factor multiplicativ anume lungimea programului.

Observaţi că pentru instanţe diferite ale unei aceleiaşi probleme, numărul de instrucţiuni executat este în general diferit. Este de asemenea evident că timpul de probleme de dating de tip scurt depinde adesea de cantitatea datelor de intrare; în exemplele date mai sus el depinde de numărul de elemente din vectorul a.

Să recapitulăm deci: avem un algoritm care rezolvă o clasă de probleme. Pentru fiecare instanţă, complexitatea algoritmului se măsoară în numărul de instrucţiuni executate pentru a rezolva acea instanţă.

Recommended

Noi ne dorim însă o măsură unică, globală a unui algoritm, care să-l caracterizeze, şi nu complexitatea pentru fiecare instanţă. Atunci procedăm astfel: alegem o valoare arbitrară care o numim mărimea datelor de intrare. Cînd algoritmul lucrează pe probleme de dating de tip scurt vector ca în exemplul de mai suso alegere posibilă este numărul de elemente.

În general valoarea care caracterizează mărimea dating band baieti de intrare arată cît de multă informaţie este prezentă în datele de intrare.

Acesta este un lucru normal, pentru că ne putem aştepta ca atunci cînd avem probleme de dating de tip scurt multe date la intrare algoritmul să lucreze mai multă vreme. Fireşte, există mai multe instanţe cu mărimea k. Mai departe există două metode răspîndite pentru a decide complexitatea unui algoritm pentru date de mărime fixată.

Pe scurt: fixăm mărimea, măsurăm numărul de instrucţiuni pentru fiecare instanţă de această mărime, şi apoi luăm maximumul. De exemplu, pentru algoritmul de căutare expus mai sus, complexitatea pentru vectori de mărime n este n, pentru instanţele probleme de dating de tip scurt care x nu se regăseşte în vector. În acest fel complexitatea unei probleme se exprimă ca o funcţie de mărimea problemei. A doua metodă de a evalua complexitatea problemelor pentru o mărime fixată este de a pune o distribuţie de probabilitate peste instanţele ce este meciul o anumită mărime de exemplu toate pot fi egal probabile şi de a evalua apoi valoarea medie a variabilei aleatoare care descrie timpul de rulare.

Această tehnică este mult mai rar folosită, pentru că: Este greu de argumentat o distribuţie de probabilitate pentru un set de date de intrare practic distribuţia afirmă ce şansă are fiecare instanţă probleme de dating de tip scurt a fi întîlnită cînd se rulează algoritmul.

De exemplu, pentru un algoritm pe grafuri, care este probabilitatea de a primi un arbore? Nu există un răspuns natural la această întrebare. În general este mult mai greu de evaluat analitic formula obţinută decît în cazul folosirii maximumului. Metoda cu distribuţia de probabilitate a fost în general aplicată la algoritmi de căutare şi sortare, dar chiar şi în aceste cazuri simple rezultatele nu sunt întotdeauna facile.

Vom folosi şi noi această literă liber, fără a mai indica sursa ei de provenienţă. Ceea ce trebuie să comparăm de fapt este ordinul de mărime al complexităţii, care pune în evidenţă creşteri substanţial diferite. Pentru a face evident acest lucru se foloseşte o notaţie pentru ordinul de mărime al unei funcţii, introdus de fizicianul Lev Davidovich Landau. Această notaţie compară numai funcţii la limită, în creşterea lor spre infinit.

Ei au scris ceea ce este considerat a fi lucrarea de căpătâi a acestei teme în care, cu aceste metode noi, au rezolvat un caz cu 49 de orașe în mod optim prin construirea unui drum și demonstrând că niciun alt drum nu poate fi mai scurt.

Pentru a putea compara complexitatea a doi algoritmi care rezolvă o aceeaşi problemă în acest fel, trebuie ca ei să poată lucra cu probleme de mărimi arbitrar de mari! Din considerentele indicate, metoda preferată pentru a indica complexitatea unui algoritm este de a o face prin ordinul de mărime al funcţiei sale de complexitate.

Înseamnă că pe măsură ce datele de intrare cresc în mărime ca n, numărul de operaţii făcut de algoritm în raport cu mărimea datelor de intrare este mai mică de n log n ori. Astfel complexitatea asimptotică exprimă concis o limită superioară a timpului de execuţie a unui algoritm. O grămadă de informaţie se pierde din descrierea complexităţii unui algoritm dînd numai ordinul de mărime: În primul rînd funcţia al cărei ordin de mărime este evaluată era obţinută luînd maximumul peste toate instanţele de o anumită mărime.

Evaluare tipuri diferiti de itemi modul II

Notaţia cu O indică numai limita superioară a unei funcţii; observaţi că atît cît şi. Numai informaţia că f şi g sunt în aceeaşi clasă nu ne permite de fapt să le comparăm între ele. Pentru a indica şi faptul că limita se atinge, se foloseşte o altă notaţie, cu 1. De exemplu, dacă ştiu despre un algoritm doar că este O n2, asta spune ceva. Cu toate aceste dezavantaje, notaţia cu O s-a impus, şi s-a dovedit în general destul de eficace pentru a probleme de dating de tip scurt algoritmii.

Mai exact, este foarte uşor de arătat că timpul real de execuţie a unui algoritm este O numărul de repetiţii al instrucţiunii dominante. Am admis tacit că toate operaţiile elementare se pot efectua în timp unitar, dar acest lucru poate adesea să ne inducă în eroare.

De exemplu, atunci următorul algoritm, care calculează numărul Vom ignora însă aceste considerente uşor ezoterice, şi ne vom mulţumi să presupunem că în algoritmii noştri toate operaţiile pot fi făcute în timp constant.

Complexitatea unei probleme Un algoritm rezolvă o problemă. Adesea pentru a rezolva o aceeaşi problemă putem folosi mai mulţi algoritmi, poate cu complexităţi diferite.

Există cel puţin 30 de metode de a sorta un şir de valori, de exemplu!

probleme de dating de tip scurt

Putem vorbi deci de complexitatea unui algoritm, dar şi de complexitatea unei probleme. Complexitatea unei probleme este deci o limită inferioară a eficacităţii cu care putem rezolva o problemă: orice algoritm care va rezolva acea problemă va fi mai complex decît complexitatea problemei. În general este extrem de dificil de evaluat complexitatea unei probleme, pentru că rareori putem demonstra că un algoritm este cel mai bun posibil.

Tabloul arată cam aşa: limita inferioara complexitatea cel mai bun dovedita problemei algoritm cunoscut ? Dar care este complexitatea reală, şi care este algoritmul care rezolvă problema optim, asta foarte rar se poate spune. Pentru o problemă atît de banală ca înmulţirea a două numere, considerînd numerele scrise în baza 2, iar mărimea lor numărul total de biţi n, complexitatea celui mai bun algoritm de înmulţire cunoscut este de O n log n log log ndar limita inferioară dovedită este de n.

Clasa P; alte clase deterministe Unele probleme se pot rezolva, altele nu. De exemplu, o problemă notorie, a cărei imposibilitate este riguros demonstrată în anii '30 de către matematicianul englez Alan Turing, este de a decide dacă un program se va opri vreodată pentru o anumită instanţă a datelor de intrare. Probleme de dating de tip scurt tuturor problemelor de decizie adică a problemelor la care răspunsul este da sau nu cu complexitate polinomială se notează cu P de la polinom.

De exemplu, problema de a găsi dacă o valoare se află într-un vector este în clasa P; algoritmul exhibat mai sus este un algoritm în timp linear O n pentru a răspunde la această întrebare. Un exemplu de problemă cu complexitate exponenţială ne-polinomială? Decizia se poate face numai într-un timp exponenţial în lungimea formulei pentru anumite instanţedar demonstraţia nu este de loc simplă.

Nu vă lăsaţi intimidaţi de terminologie: aceasta este practic o teorie logică peste numerele naturale, în care avem voie să scriem formule cu cuantificatori şi conectori logici, ca mai sus, dar avem şi dreptul să cuantificăm peste mulţimi. Complexitatea deciziei unei formule logice într-o astfel de teorie este mai mare decît pentru orice k natural! Clasa NP; algoritmi nedeterminişti; NP-completitudine Algoritmii cu care suntem obişnuiţi să lucrăm zi de zi sunt determinişti.

Asta înseamnă că la un moment dat evoluţia algoritmului este unic determinată, şi ca instrucţiunea care urmează să se execute este unic precizată în fiecare moment. Am văzut însă că limbajul pe care l-am folosit ne permite scrierea unor algoritmi care au mai multe posibilităţi la un moment dat; construcţia if din limbajul cu gărzi permite evaluarea oricărei instrucţiuni care are garda adevărată.

Acest tip de algoritmi este surprinzător de bogat în consecinţe cu valoare teoretică. Aceşti algoritmi nu sunt direct aplicabili, însă studiul lor dă naştere unor concepte foarte importante.

probleme de dating de tip scurt

Surprinzătoare este şi definiţia corectitudinii unui astfel de algoritm. Un algoritm nedeterminist este corect dacă există o posibilitate de executare a sa care găseşte răspunsul corect. Pe măsură ce un algoritm nedeterminist se execută, la anumiţi paşi se confruntă cu alegeri nedeterministe.

probleme de dating de tip scurt

Ei bine, dacă la fiecare pas există o alegere, care făcută să ducă la găsirea soluţiei, atunci algoritmul este numit corect. În care dintre direcţii, nu se precizează este ne-determinat.

Clasele de complexitate P și NP - Wikipedia

Este clar că dacă există o ieşire la care se poate ajunge, există şi o suită de aplicări ale acestor reguli care duce la ieşire. Utilitatea practică a unui astfel de algoritm nu este imediat aparentă: în definitiv pare să nu spună nimic util: soluţia este fie spre sud, fie spre nord, fie spre este, fie spre vest.

Ei şi? Este clar că aceşti algoritmi nu sunt direct implementabili pe un calculator real. În realitate existenţa un astfel de algoritm deja înseamnă destul de mult.